رابطه ای بین یک گروه و یک گراف مشخص

آنچه که هدف ما را در این پایان نامه بیان می کند عبارت است از: 1- ارائه ی آخرین اطلاعات و تحقیقات راجع به گراف های مرتبط با یک گروه، که تا این تاریخ به آن ها پرداخته شده است. 2- رسیدن به رابطه ای شفاف بین یک گروه و گراف ناجابجایی مرتبه دوم و سومِ متعلق به آن گروه. بر اساس آنچه که در بالا به آن اشاره شد بررسی خصوصیات مربوط به گراف های مرتبط با یک گروه مانند گراف ناجابجایی، گراف اول، گراف کیلی و... تحقیقی است که به صورت کلی در این پایان نامه به آن پرداخته می شود. در این پایان نامه همچنین به صورت تخصصی تر گراف های ناجابجایی مرتبه دوم و سوم یک گروه مورد بررسی قرار می گیرد. مطالعه ی گروه ها با استفاده از گراف ناجابجایی آن ها با طرح سوالی توسط پائول اردوش در سال 1975 در یک سمینار آغاز شد. نیومن در سال 1976 مسأله ای را که اردوش مطرح کرده بود حل نمود. مسأله اردوش: «کلاس گروه هایی که مرکز آنها از اندیس متناهی است، بر کلاس گروه هایی که گراف ناجابجایی آنها شامل هیچ زیرگراف کامل نامتناهی نیست، منطبق است.» گراف ناجابجایی با حدسی که عبداللهی و همکاران در سال 2006 زده اند، مورد توجه قرار گرفت. البته اخیراً این مسأله مورد توجه ریاضی دانانی از کشور انگلستان قرار گرفته است، و نتایج تحقیقات آن ها نشان می دهد که آن ها موفق به اثبات این مسأله در حالت کلی شده اند. رأس های گراف ناجابجایی مرتبه n-ام گروه g عبارت است از(gt^n(g که در آن {t^n(g)={x?g?(xg)^n=(gx)^n,?g?g} و دو رأس x و y مجاورند هرگاه(xy)^n?(yx)^n اگر قرار دهیم n=1، آنگاه گراف ناجابجایی مرتبه n-ام همان گراف ناجابجایی گروه g خواهد بود. این توسیع از گراف ناجابجایی توسط مشکوری و طائری در 2011 مطرح شد. در این پایان نامه به بررسی تشخیص پذیری یک گروه توسط گراف ناجابجایی مرتبه دوم و سوم می پردازیم. در پایان نشان می دهیم که گراف ناجابجایی مرتبه سوم، یک تشخیص پذیری برای مرتبه ی گروه هایی که در آنها t^3 (g)=z(g) به دست می دهد.